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高校のときに物理を勉強した方は、ニュートンの第二法則を覚えているでしょう。よく出てきた F=ma ってやつです。これが、固体を対象とした物理での運動方程式でした。流体を対象とした物理にも運動方程式が存在します。それが、ここの題名のオイラーの運動方程式です。 では、とりあえずオイラーの運動方程式がどのようなものか見てみましょう。オイラーの運動方程式は、X、Y、Zを質量に比例してｘ、ｙ、ｚ方向それぞれに作用する加速度（重力や遠心力）として  （2次元、ｘ方向） （2次元、ｙ方向）３次元では  ｘ方向 ｙ方向 ｚ方向のようになります。以上は圧縮性の流体にも適用できる形です。非圧縮性に限定すると  ｘ方向 ｙ方向 ｚ方向となります。以上の式は非定常な流れにおいても適用できます。また、実際の世界においては、容器に入った水や地震が起こったときなどを考えない場合、X=Y=0、Z=g として考えます。 では、このオイラーの運動方程式を導いてみましょう。 下の図のように、AからBに流体が移動する現象を考えます。圧力は連続の式のときの流速と同じようにして、上の辺、右の辺に作用する大きさを求めます。今回の流速は位置がｘ方向にもｙ方向にも変化しているため、それぞれの方向に対する変化量を加えなくてはいけません。  長方形の辺の長さはｄｘ、ｄｙです。目的は運動方程式なので、まずAに作用する力を考えましょう。 m を質量として   ｍX、ｍYはX、Yがｘ、ｙ方向の加速度だから、ニュートンの運動方程式から導かれたものです。これでｘ、ｙ方向の力が求められました。 次に、質量はわかっているので加速度を求めます。加速度は （Bの流速）－（Aの流速） を計算して⊿ｔで極限をとれば求められます。したがって  と求められます。非定常流ではx、ｙ方向に  、 を加えないといけません。ここで、  とわかっているので、これを代入して F=ma となるようにすると が得られます。 |
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