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ベルヌーイの定理(Bernoulli's theorem)の応用

ベルヌーイの定理の応用として、ここでは、ピトー管、ベンチュリ管、マノメータの三つの例をあげたいと思います。まず最初にピトー管の説明をします。下の図を見てください。A、Bの位置には穴が開いています。これをピトー管といい、流速を測定することができます。 左から右に向かって一様な流速vがあるとすると、AとBの違いは流れに対して直角に穴が開いているか、平行に穴が開いているかということです。流れに直角に穴が開いているAにつながっている方は一様流の影響を受け水位が高くなり、Ｂの方は一様流の影響管の影響がなく外と水位が等しくなります。この水位差�僣で流速を測定することができます。 まず、ＡとＢにベルヌーイの定理を適用すると次の式が得られます。 左辺がＡ、右辺がＢです。ＡもＢもほぼ等しい高さにあるので、圧力は同じだけ働きます。したがって、圧力pも基準面からの高さＨも同じ値になります。しかし、Ａ点は流れの影響を受けるため流速の項が含まれます。その分だけ、水面が持ち上がることになります。 結局、上の式を整理すると次の式が得られます。 よって、水位差�凾gから流速が求めらることがわかりました。このピトー管は、現在でも管内の流速を知るためなどに使われているようです。 次は、ベンチュリ管とマノメータを同時に説明します。下の図にこの二つをまとめたものを示します。 上に伸びているのがベンチュリ管、下に伸びているのがマノメータです。どちらも流量を測定するために利用します。まずは、ベンチュリ管から示していきます。 左側のv1の地点を１、右側のv2の地点を２とすると、１ではp1/ρgだけ水面が上がり、２ではp2/ρgだけ水面が上がります。したがって、水位差�冑を用いて次の式のようにまとめることができます。 次に、１と２ではエネルギーは保存されるので、ベルヌーイの定理を適用すると次の式が得られます。 また、１と２に連続の式を適用すると次の式が得られます。 以上の３式を連立させてpを消去して、v2について解くと次の式が得られます。 したがって、流量Qは次のようになります。 これでベンチュリ管の説明が終わりです。最後は、マノメータです。これも基本的な部分はベンチュリ管と全く同じです。 マノメータは、ベンチュリ管とは逆に下向きに管が出ています。その中には水銀などの水よりも比重の大きな流体が入っています。比重の大きな流体が入っている場合、圧力水頭差�凾�は水銀面の高さの差�凾�’を用いて次のように表すことができます。（簡単にわかると思うので、自分で確認してみてください。） このように、�凾�よりも小さな�凾�’を測定することで流量を知ることができます。これは、流量が小さい場合、水位差がより見難くなるため不利になります。しかし、流量が大きい場合、小さな水位差で測定が可能となるため有利に働きます。 これで、流速を測るピトー管、流量を測るベンチュリ管、マノメータの説明を終わります。

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